可能性は。(21歳・女性）

男性目線で回答いたします。

Q：直接会って連絡先交換したいですと伝えて良いのでしょうか？
A：あまりしない方が良いと思います。

お手紙を渡した時点で質問者様の意図は十分伝わっていると思います。
ここから先は相手の気持ちや意欲次第ですので、様子見の方が良いです。
あまりアプローチしすぎると、「自分勝手な人」などと思われて悪印象になってしまう恐れがあります。
・相手は忙しくて考えている余裕がないのかもしれない
・恋愛自体に興味がないのかもしれない
本気なら相手から何らかの動きがあるものです。

どうしても気になるなら時間をおいて伝えてください。
1か月は少し早い印象ですが、3か月以上経過しているなら直接伝えてもそれほど違和感は感じないと思います。
その際は「どうして連絡くれなかったんですか？」など、前回の話は蒸し返さず、無かったつもりで（初めてのつもりで）お伝えになる方が良いです。

◆脈ありの可能性について
「若干脈あり寄り」と思います。
手紙をもらって喜んでいたことから、少なくとも嫌われてはいません。
そして、手紙をもらった時に相手が自発的に「独身」と言っていたのなら、意識している証拠＝脈あり
質問者様が「独身ですか？」と聞いたのなら、どちらとも言えない。
という印象です。

◆結論
しばらくは様子見で良いです。
相手の落ち着くタイミングで連絡してもらうことが、相手の意思を尊重することに繋がります。
ですが、時間が経つとなかなか連絡しにくくなるもの。
なので3か月くらい経過したら、直接伝えられて良いと思います。
もし会社の繁忙期が分かっているなら、それをずらしたタイミングで伝えられると尚良いです。