元彼に誕生日お祝いLINEをするべきか(22歳・女性）

そこまで想い続けられるという事は、とても大切に思っている彼なのですね。
状況を拝見すると、別れのきっかけが「自分のことだけ考えたい」「半年距離を置くか別れるか選んでほしい」と相手から提案された形のように読めますが、実際に別れを切り出したのはどちらだったのでしょうか？

あなたからだった場合は復縁の可能性も十分にあると思いますが、もしお相手の方から「前に進んでほしい」とか関係を終わらせる方向を示されたのだとしたら、今すぐ復縁、というのは難しいかもしれません。
連絡が途切れたり戻ったりするのは、元々連絡不精な性格や、今は生活のことで手一杯（転職・金銭事情など）という現実的な事情があるためかもしれませんし、単純に「居心地は悪くしたくない」「ほどよい関係を保ちたい」という気持ちから距離感をコントロールしている可能性もあります。

そして、復縁を目指すなら追えば追うほど逆効果になることが多いです。
誕生日にメッセージを送るかどうか悩んでいるようですが、お祝いの短い一言（「お誕生日おめでとう！良い1年になりますように」など）程度であれば問題にはなりにくいです。ただしそこから長文や感情的なやり取り、頻繁な催促やプレッシャーをかけるような行動は避けたほうがいいです。プレゼントや強めのアプローチは、相手の今の事情（お金がない等）や気持ちをより混乱させる可能性があります。

今は一旦距離をとってみる方が良いかもしれません。
誕生日当日は軽いお祝いメッセージだけ送る、電話や長時間のやり取りは控える、といった“友人としてのほどよい距離”を心がけてください。復縁の意思を伝えるのは、一度お相手の言った通りに“前に進む”素振りを見せてからの方が効果的です。

復縁したい気持ちが強いなら、まずは「前に進もうとしている」ことを示すのが有効です。
例えば趣味や仕事に打ち込む、友達と出かける、出会いの場に顔を出すなど具体的な行動を少しずつ始めてみてください。その後でタイミングを見て「前に進もうとしたけど、やっぱりあなた以上の人はいなかった。声を聞くだけで元気になれるから迷惑でなければたまに話したい」といった、穏やかな言葉で気持ちを伝えると、相手の心を動かすきっかけになるかもしれません。

最初からずっと「あなただけ」と強くアピールしてしまうと、相手に依存されていると感じさせ、余計に距離を取られてしまうことがありますので、「一度他の人や時間を使ってみた」というワンステップを置くことが重要です。

少なくとも相手の言葉に「前に進んでほしい」というニュアンスが含まれている以上、現時点で復縁の可能性は高くはないと思います。
しかし、連絡が続いている点やあなたに対する関心が完全に消えているわけではない点を考えると0％でもありません。辛い時期だと思いますが、まずは“良い距離感の友人”として振る舞うことを徹底してみてください。長期戦になるかもしれませんが、うまくいくよう応援しています。

男性目線で回答します。

Q：おめでとうと連絡するのは今度復縁を目指す上で必要ですか？
A：「ないよりはあった方が良い」という温度感です。

礼儀や人として考えると送るべきだと思いますが、「復縁したい」という、ある種打算的な考えから来るお祝いメッセージは「微妙かな…」と思ってしまいます。
どちらかと言えば、「質問者様が本心で送りたいと思っているのか」に従うべきだと思います。
質問者様の本心はどちらに近いのか。
①祝福したくない、彼の誕生日にそれほど興味はない　なら送らない方が良い
②祝福したい気持ちはあるけど、彼の気持ちが離れないかが心配　なら送る方が良い
後者（②）なら、あっさり目に送るのが良いです。

例えば
「お誕生日おめでとう！良い一年になりますように。」
「お誕生日おめでとう！素敵な一年になりますように。体に気をつけて頑張ってね。」
返信は求めていない。ただ言いたかったから言った。そんな温度感のメッセージが丁度良いと思います。

◆今後の戦略について
「今お金ギリギリなんだよね」と言われたときは、「じゃあ今回はわたしが出すよ。言い出しっぺだし」と言ってもよかったかもしれません。
もしそこで彼がゴネてきたら
「いつもは出してもらうことの方が多かったし、これくらいなんともないよ」と「ちゃんと見ているよ」というメッセージを暗に伝えたり
「今までしてくれたことの感謝の気持ちとして受けとってくれればいいよ」と間接的に感謝を伝えたり
「もし納得いかないなら、出世払いでもいいよ（笑」など次につながるように仕向けたりできます。
※彼の状況（本当にお金だけの問題なのか）にもよりますが、こういうやり方もありますよ。という参考で。

LINEが途切れると思うと寂しい気持ちになりますし、少しでも長く続けたい気持ちもよくわかります。
おめでとうLINEはしてもいいと思いますよ！！
それがきっかけで、また返事がくるかもしれないですしね(^^)
ただ、連絡を待つ側のもどかしい気持ちもありますよね、、
別れた後も連絡をとり続けている状況は、別れているけど距離を置いたって感じですが、元々の『半年距離を置くか』の期間は過ぎていますよね？？（わかりづらくてすみません(>_<)）
彼自身の気持ちはどこに向いているのか、勇気を出して聞いてみるのはいかがでしょうか？
相談者様自身にとっても、前に進むきっかけになるといいですね。
応援しています。