じっと見てくる男性(25歳・女性）

私はご相談者様から声を掛けて問題ないと思います。そして、ご相談者様が言われているように、仕事の内容で声を掛けて、少しだけ会話できそうな雑談を持ちかけるのにも賛成です。

「これだけ見てくるのにどうしてアプローチしてこないのか」と思うのはとてもよくわかりますが、アプローチに至るまでの過程は人それぞれです。私はどちらかというと気になる人にはすぐにアプローチしたいタイプなのですが、それでも相手の性格によってはあえてじっくりとアプローチをしたり、相手からのアプローチを引き出したり、のらりくらりと待ったりすることもあります。このように同じ人間であってもアプローチの仕方を変えることがあるくらいなので、彼が必ずしも、ご相談者様の友人が言うように、「女子の方から行かせる男子」だとは言い切れないと思います。

今の状況は彼なりのペースだと思いますので、ご相談者様のほうから話しかけて、きっかけを作るのは悪いことではありません。少しだけ会話ができそうな雑談を持ちかけるくらいなら、仮に彼がご相談者様のことを何とも思っていなかったとしても、悪い影響はないでしょうし、本当にご相談者様に好意を持ってくれていたら、会話のきっかけができて喜ぶことでしょう。
男性のほうから行くべきとか、女性から行くと軽く思われるとか、そういったことはあまり考える必要はありません。私の経験上、恋愛の駆け引きはケースバイケースであり、その相手に応じた行動をするのがベストです。
彼がじっくり慎重に行くタイプなのであれば、ご相談者様のほうからきっかけを作りましょう。そうすれば一気に進展する可能性が高いです。