告白して振られた人へのアプローチの際、LINEでの会話の初めはどのような事を言えばいいですか？(18歳・男性）

告白後、自分磨きをされたとのこと。その心意気が素敵です！
私は過去に告白された方から卒業後再度アプローチされた経験がありますが、お付き合いした人もいればしなかった人もいます。自身の経験を踏まえてお話ししますので、何か少しでもご参考になれば幸いです。
私のおすすめは、「告白に向けたアプローチには少し時間が必要。まずは友人として接しつつ好きアピールだけしておくこと」です。

告白された女性がその後のアプローチで最も嫌がるのが、「好意を返さざるを得ない状況を作り出されること」です。これはなかなかプレッシャーで、繰り返し告白されたり、周りの友人に協力を仰いで四面楚歌にされたりすると、一気に気持ちが冷めてしまいます。彼女からYESをもらおうとしてはいけません。
また、自分磨きの方向性は彼女の好みに沿わせた方が無難です。彼女にそれとなく聞いてリサーチしましょう。

逆に最も好かれるのは「貴女が僕を好きでなくても僕は貴女のことがずっと大好き」と伝え続けることです。女性は無条件に自分を愛し続けてくれる男性に弱くなりやすいですから、これはなかなかに効果があります。即効性はありませんが、私がされて最も効いたのはこれでした。
もどかしいかもしれませんが、彼女には好意を一切要求せずに質問者様の愛を振りまいてみてください。

LINEの語り始めはたわいない話で大丈夫です。彼女が好きそうな写真を送って「これ美味しそうじゃない？今度一緒に食べに行こうよ！」とか「最近暑いね、夏バテしてない？」とか友人として世間話をしてみてください。友人と同じように接してもらえると、プレッシャーを感じず友人として気軽に接しやすくなります。彼女も嬉しいと思いますよ。
「好き」はいくら言っても大丈夫。彼女を可愛いと思ったら素直に可愛いといい、「え！可愛い！好き！！」と言ってしまいましょう。
間違っても「いつまでも待ってるから」「どこを変えたら好きになってくれる？」なんて聞いてはいけません。
常に「息をするように愛を吐き、好きを強要しないこと」を意識しましょう。

数ヶ月ではなく年単位で見て行動するのが成功の秘訣です、頑張ってください！