同棲しているのに不安になることが多い(24歳・女性）

ご質問を読む限り、ご相談者様と彼の信頼関係は破綻しているように見えました。
もし彼がご相談者様に、「嘘をつかないで」と言われて、嘘をつかなくなるほど素直な性格なのであれば、はじめからそもそも嘘をつかないでしょうし、仮に反省して「もう嘘をつかない」と約束してくれたとしても、ご相談者様の中に疑心暗鬼の気持ちは残り続けるのではないでしょうか。彼が嘘をつき、ご相談者様が追及してもキレて話し合いにならなかった時点で、恋人関係の継続は難しいと思います。

私は、「彼に嘘をつかないようにしてもらうこと」と、「同棲を続けること」両方を実現させるのはかなり難しいと思います。嘘をつかないでと伝えたら彼は気分を害し、きっと別れを切り出してくるでしょう。そうなると同棲を継続することができませんよね。
しかし、人間が生きる上で、衣食住は欠かせないものです。同棲している家は、その「住」の部分ですから、私はたとえ彼に嘘をつかれ続けたとしても、まずは同棲の継続を優先して考えたほうが良いと思います。悲しいことではありますが、嘘をつかれることは我慢し、お金が貯まったら同棲を解消するのです。

私は「嘘をつかないで」と彼に伝えることを否定しているわけではありません。ただ、現状の彼の様子から、嘘をついていることの反省がまったく見えませんので、伝えたところで改善は期待できないでしょうし、住まいがなくなるのは生きていくこと自体に危うさが生じるため、同棲の継続を優先させていただきたいのです。
それでもご相談者様が、「たとえ同棲が解消になってもいいから彼に改心してほしい」と思うのであれば、1つ方法があります。それは、「嘘をつかないで」と伝えるのではなく、「どう思う？」と彼に問いかけることです。例えば、先日、「元カノと会っていたのか？」という話をしたときに彼がキレたことを話題に出して、「この前の様子を見てて、どうしてもやましいことをしているんじゃないかって疑ってしまうんだよね。問題ないならキレるんじゃなくてちゃんと説明してほしかった。あの時のこと、○○くんはどう思う？」と尋ねてみましょう。ポイントは、ご相談者様から「嘘をつかないで」と注意する形にするのではなく、彼に考えさせる形にすることです。こうすれば、今回のことがご相談者様だけの問題ではなく、2人の問題であると彼に感じさせることができますし、彼に当事者意識を持ってもらうことができます。
もしご相談者様が、真実を知るのが恐くてこのように聞くことすらできないと思うのであれば、さきほどご説明しましたように、もう彼を追及することはせず、穏便に同棲生活を継続し、お金が貯まったら同棲を解消するのが良いでしょう。

恥ずかしながら私も交際女性に嘘をついたことがあります。1度嘘をつくと次から次へと取り繕わなければならないことが生まれ、嘘に嘘を重ねるようになります。そうなると後ろめたい気持ちがかなり強まり、かなりしんどくなります。本当に恋人のことが好きであればこの時点で嘘をつくのをやめ、反省の姿勢を示したり、改心して誠実な行動を心掛けたりするものです。
ご相談者様と彼も、「元カノと会っていたのか」という話をしたときに一悶着あったわけですから、本当に彼がご相談者様のことを大切に思ってくれているのであれば、彼はこれを機に反省し、態度を変えてくれるはずです（私も経験がありますが、直接話している時には頭に血がのぼって反省できないものの、あとから1人になって「申し訳ないことをしたな」と反省することがあります）。ご相談者様の思いだけで動くと失敗してしまうこともあるため、ひとまず彼の様子を観察して今後のアクションを検討するというのも1つの手だと思います。

いろいろ述べましたが、結局はご相談者様がどうしたいか、それに尽きます。上記の回答を参考にしていただき、何がベストかを考えてみてください。もしまた悩みが続くようでしたらご質問いただけたらと思います。