未読無視？されてる相手に話かけるかどうか(28歳・男性）

お相手様との接点を作るためにご自身から行動を起こされていて、その姿勢が素晴らしいと感じました。
初めて連絡をされる時も、とても緊張されたのではないでしょうか。

お相手様と連絡を取り始めてから直接会うことができず、返信が途絶えてしまったとのことですが、次に会えるタイミングがあるのでしたら声をかけられたほうがよろしいと思います。
お相手様がご相談者さまのことをきちんと認識できていない場合、同じ職場の人だとしても知らない男性から連絡が来るという状況は、女性としては怖いと感じてしまう場合もあると思います。
なので、しっかりご相談者様のことをお相手様に認識してもらうことや、なぜ連絡したのかなどをお伝えされたほうが、今後につながりやすいと感じました。
LINEでそのような旨をすでにお伝えされているかもしれませんが、改めて伝えられたほうがお相手様も安心できると思います。

また、最後にご相談者様が送られたメッセージが謝罪の内容のみだった場合、お相手様は返信に困られているので未読のままにしている可能性も大きいと思います。
お相手様がまだご相談者様のことを認識しておらず特に好意なども持っていない場合、「謝罪されてもそれ以上なにかしてほしいこともないし」ということで、返信をするきっかけがないことも考えられます。

ただ、ご相談者様に連絡先を伝えることをお知り合いに許可されているのだと思いますので、現状、ご相談者様に何か悪い印象はお持ちではないのだと思います。ですので、今後の行動次第でうまくつながる状況だと感じました。

この先関係性を深めていかれたいのであれば、ご相談者様から積極的にアプローチされる他、方法は難しいかもしれません。
なので、まずは直接お話できる機会をみつけて、食事に誘うなど能動的に行動されるのがよろしいと思いますよ。

ご相談者様の恋愛がうまくいきますよう、応援しています。
何か参考になりましたら幸いです。