シングルマザーさんに告白し子育て中との事でフラれました。(52歳・男性）

シングルマザーさんの年齢とその方のお子さんの年齢が何歳かがわからないのでなんとも言えないのですが、食事は断られる可能性が高いと思います。
子育て中のシングルマザーさんで、お子さんがまだ小さい場合、夜や休日に食事に出かけるとしたら、お子さんを誰かに預けなければいけません。（付き合ってもいない男性に子供を会わせたいとは思わないと思うので）
親御さんや前の旦那さんにお子さんを簡単に預けられる方もいますが、預けにくい方もたくさんいると思います。
もし預けられたとしても、その回数というのはかなり限られているのではないかと思います。
その中で、自分が一度フッたことのある男性と食事に行くことにその貴重な時間を使うのか、仲のいいお友達との時間を過ごしたり一人でゆっくり美容院などにリフレッシュに行く時間に使うのかと言われたら、きっと後者だと思います。
ましてや、一度自分がフッた相手と食事に行くのは、かなり気まずいのではないかと思います。
私でしたら、きっと何かしら理由をつけて断ると思います。

さらに、人にもよるとは思いますが離婚経験のある方は、なかなかまた恋愛をしたいとは思えないのではないでしょうか。
特に子供さんがいて、シングルでしたら、子育てもお仕事もしなければいけません。
誰かと食事に行く暇や、気持ちの余裕はないのではないかと思います。

そして何よりもまず、一度あなたをフッているというのが今の彼女の答えですので、そっと遠くから見守るぐらいが良いのではないかなと思います。

「友達関係になりたい」という気持ちも、結局好きだからですよね。
純粋に友達になりたいわけではないと思うのです。
それは下心が見えすぎて、友達にはなれないと思います。
彼女には彼女のお友達がすでにいるでしょうし、大人になると友達になることさえそんなに簡単なことではないと思います。

一度フラれた事実をきちんと受け入れたほうがいいのではないかと思います。
もし彼女から誘われるようなことがあれば、そのときは喜んでお食事に行ったらいいのではないでしょうか。
「何か困ったことなどがあれば手伝うよ」などと伝えて、相手があなたを必要としたときに声をかけてもらえるような関係性でいるのが一番いいのではないかと思います。