冷たくしたら冷たくし返された(33歳・男性）

以前も回答させていただいた者です。状況のアップデートありがとうございます。今回も率直に回答させていただきますね。

結論から言えば、「最近僕は冷たく接してますが、向こうも冷たく接してきます。僕が優しくなると向こうも迎合してきます」というように見える点については、彼女は特に何か意識しているわけではない可能性が高いです。
恋愛ではよくあることなのですが、あなたが彼女を意識し過ぎるあまり、彼女の一つ一つの行動について敏感になり、色々と気になってしまっている状態だと思います。
ですので、「別に向こうは何も思ってなくて放っておこうって感じですかね？」という問いに対してはYESだと思います。

また、彼女に彼氏がいる点、そして、連絡先を登録してくれなかった点を踏まえると、同僚として以上の気持ちは現時点ではない可能性が高いです。
患者さんの家に行った話も、仕事仲間として一緒に行ったということだと思います。

今後の接し方ですが、彼女が彼氏もいて、そして現時点であなたに対して恋愛的な好意がない可能性が高いことを踏まえると、駆け引きは意味を成しませんので、冷たく接するメリットはありません。
彼女に対しては、常に優しく接し、まずは仕事仲間として尊敬される状態にし続けていくことが肝要です。
彼女もいつかは彼氏と別れたり、うまくいかなかったりする時が来ると思いますので、その時にこの状態にしておくことです。
そして、その時（彼女が彼氏とうまくいかなかった時）がチャンスです。そこで、仕事仲間という関係性から一歩踏み込んだプライベートの話もする（相談にのる）関係性になれたら、交際までぐっと近づきます！

引き続き応援しています！