迷ってます(18歳・男性）

僕も学生の頃、相談者様と同じように女子と話すのが苦手で、直接声をかける勇気がなかなか出なかった経験があります。
だからこそ、相談者様の気持ちに強く共感できますし、その経験からお伝えできることがあると思い、回答させていただきます！

まず、一目惚れをして「どうやってアプローチすればいいか」と真剣に考えている時点で、相談者様はとても誠実な方だと思います。
相手に嫌な思いをさせないように慎重になっている気持ちが伝わってきます。

手紙でインスタIDを書いて渡すという方法は、実は悪くありません。
いきなり声をかけるよりも自然に自分を知ってもらえるきっかけになりますし、相手に考える時間を与えられるのでプレッシャーが少ないです。
ただし、内容は短くシンプルにするのが大事です。
長文だと相手も重く感じてしまうので、「電車でよく見かける◯年の◯◯です。
もしよかったらインスタでつながりませんか？」くらいがちょうどいいです。

僕自身、高校生の時に直接声をかけられなくて、思い切って紙に連絡先を書いて渡したことがありました。
最初はすごく緊張しましたが、相手は「勇気出して渡してくれたんだ」と受け取ってくれて、そこから少しずつ仲良くなれました。

大切なのは「その一歩」を踏み出すことです。相手にどう思われるか不安でも、行動しない限りは何も始まりません。
相談者様が考えている方法は、性格に合った自然なアプローチだと思いますよ。

相談者様の恋愛がうまくいくことを願っています！頑張ってください！！！

現実的で良い手段だと思います。
ただし相手女性の視点で見ると、知らない男性からいきなり話しかけられることになるため、次の点に注意される方が良いです。

・距離感を合わせる
（いきなり馴れ馴れしく話しかけない。ただ、重すぎても相手にプレッシャーを与えますから、駅員さんや店員さんに話すようなトーンを意識されると良いです）
・時間や手間を取らせない
（もしかすると、相手は用事があるかもしれないため、数秒程度の軽いものにする）
・好意を隠さない
（好意を隠すと「なぜこんなことをするのか？」と逆に疑われてしまいます。異性として気になっている事は正直に伝えられる方が良いです。ただし言葉は慎重に選んでください）
・誠実な文章を心がける
（文面は不用意に長文にせず必要最低限に。いきなり知らない男性からラブレターのような熱量のこもった文章を送られても距離を置かれます）

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いきなり話しかけてごめんなさい。
○月に偶然見かけたときから気になり声を掛けました。
もしよければインスタ交換してくれませんか？
僕のIDは　XXXXXXX　です。
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このようなニュアンスの文面を送れば良いと思います。
相手が年上の人や、固めの文章が良ければ以下のようにしても良いと思います。

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突然話しかけて申し訳ありません。
○月に偶然見かけてから気になり、声を掛けさせていただきました。
もしよければインスタ交換していただけませんか？
僕のIDは　XXXXXXX　です。
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質問者様の恋愛が上手くいくことを願っています。