彼女の誕生日(27歳・男性）

まず安心してほしいのは、彼女は医療職で土日も出勤や自宅待機があるほど忙しい状況です。
そのため、LINEが一言だけになったのは「忙しくて長文を打つ余裕がなかった」というだけの可能性が高く、気持ちが離れているとは必ずしも言えません。

不安になったり心配する必要はないと思いました。
交際1か月はまだ関係が安定していない時期ですし、相手の状況によって反応が変わるのは自然なことです。

その上でLINEを続けるコツとしては、

・忙しい彼女を気遣う短文メッセージ（「お疲れ様」「無理せずね」など）を送る
・質問形式で返信しやすくする（「週末はどちらで過ごす予定？」など）
・重要な話やお祝いは会ったときに伝える

といった形で、彼女の負担にならず自然にやり取りを続けましょう。
こうすることで、LINEのやり取りがプレッシャーにならず、関係をゆっくり育てられるはずです…！

参考になれば幸いです。
週末のご飯が上手くいくよう、応援しております…！

私は様々な女性と付き合った経験がありますので、その経験を元に率直に回答させていただきますね。

今週末にご飯に行ける予定があり、お祝いできるとのことですので、LINEの件については特に気にする必要はないと思います。
返信する内容が思いつかないのであれば、リアクションやスタンプなどの反応だけしておき、一旦話題を切っても良いと思います。
また、相談文を拝見しておりますと、彼女はサバサバしている性格のようですので、そういった意味でもLINEの件は気にする必要はないと思います。

そもそも、あなたが色々気にしすぎる性格ということですので、彼女はあなたのそういうところを分かった上で交際していると思います。
気にしすぎるということは裏を返せば、気が利いたり、細かい気遣いができるということになります。サバサバしていると思われる彼女からすると、そういったところにも魅力を感じてお付き合いされているのだと思います。

ですので、「彼女の自宅待機で本来は会えないのに、それを無知で急に会えないか打診してしまい、ウザがられてないか気になってもいます。」というのも気にする必要はないと思います。サバサバしている性格の彼女からすれば、単に会いたかったんだろうなと思っているに過ぎないと思います。

総じて言えば、全て気にする必要はないと思います。

彼女の誕生日、ぜひ存分にお祝いしてあげてくださいね。
二人の仲が今後も深まっていくことを願っています。
応援しています！