初デートの誘いで、本屋デートか映画デートか(32歳・男性）

一度誘いをお断りされている相手を再度誘うのは、勇気のいることですよね。そんな中、不安も感じつつも相手を尊重し関係を途絶えさせずにいたあなたは、真っすぐな気持ちをお持ちな方だと思いました。

本屋と映画で迷っているということですが、私も気軽さがある方が良いと思いますので、あなたと同意見で本屋さんが良いと思います。
それは、本好き同士の延長ということもあり共通の話題がしやすいうえ、時間の拘束がないため早めに切り上げたくなったら解散することもできるからです。話が盛り上がれば、その後カフェに場所を移して話しを続けることもできますしね。

ただしデートに誘うという感じにはせず、「行きたい本屋さん（店名を出す）があるんですが、興味あれば一緒にのぞいてみませんか？」程度にすると良いと思います。一度カフェに誘ったときにお断りされており連絡も月1あなたからということなので、デートっぽさが出てしまうと警戒の気持ちが強まってしまうかもしれません。そのためデートという意識はとりあえず横に置き、彼女に逃げ道（興味なければ断りやすい）を作ったうえで交友を深めることから始めるのがよいかと思います。

彼女の反応を慎重に見つつ、今後の進め方を検討していくことをおすすめします。

まず、最初から映画デートはやめた方がいいです。一度カフェを断られている上に、最初から映画ですとハードルが高いです。

ですので、映画か本屋かと言われれば本屋ですが、誘い方には工夫が必要だと思います。なぜなら、一度カフェデートを断られているからです。
半年たって距離が縮まっていることに確信があるのなら（本屋デートに誘ってもOKしてくれる自信があるのなら）、普通に本屋デートに誘っても良いと思いますが、その確信がないのなら、工夫が必要だと思います。

具体的には、彼女がデートに行く口実を与えてあげることです。たとえば、「⚪︎⚪︎さん、△△関連の本、詳しいですよね。僕も興味があって読んでみたいと思ってるんですけど、よかった今度本屋で少し教えてもらえないですか？」などです。
口実があると、デートに来やすくなりますし、逆に口実がないとデートということで身構えてしまうリスクがあります。

参考になれば幸いです。

本屋デート、素敵ですね。読書会サークルでお会いになった方となら、ぴったりのデートだと思います。
しかし注意点もありそうです。理由は、前回から、お相手のデートへの意欲が変わったかどうかまだわからないことです。
以前、お相手に「こちらから連絡する」と言われているもののいつも質問者様から連絡していたり、こちらからのアクションが多いように感じます。
これでは普通にデートに誘っても、あまり好感度はあがらず、むしろ下がってしまう場合があります。デートに誘う前に、もう少しだけ好感度をあげてみてはいかがでしょうか？
質問文を読ませていただいた限り、まだお相手は質問者様へ恋心を持つ段階へ到達していなさそうです。ならばまずは、「読書会サークル仲間の中でも特に仲良しな人」というポジションを獲得しましょう。そのためには、お相手の好みの把握はもちろん、本に対する熱を受け入れられる男性になりましょう。
自分が語るのはぐっと我慢して、お相手が気持ちよく趣味活できるような相棒的存在を目指してください。そのうちお相手が「質問者様といると好きな本の話がたくさんできて嬉しいな」と思うようになってくれば、その時がデートへお誘いするベストタイミングです。まずは地盤固めからして行きましょう。
応援しています、頑張ってください！