この関係性に名前はあるのか(30歳・女性）

ご相談ありがとうございます。
正直なところ、私もそのような関係の上司がおり、お互い既婚同士なので最初は困惑しておりました。
ところが、海外では日本でいう【友達以上恋人未満】のような異性の友人は成立しており、一定数そのような関係がいることがわかり、今はやましい気持ちなく友人として仲良くしております。

日本では逆に【不倫、不貞行為、浮気】という文化が根強く、やましい気持ちがなくても異性が二人で会っているのを側から見た人は、「あの二人、何かあるんじゃないか」と疑いやすくなると感じています。やましい気持ちがなければオープンに出来るという相談者様の感覚も正しいのですが、当事者ではない方からしたら本人同士の感情など他の人には関係ないので「記念日を祝う、二人で会う時点で浮気！」と騒ぎ立てる人もいるかもしれません。

お相手の男性にしてみれば、そのような噂は煩わしいものに過ぎないので、あなたとの関係をオープンにしないのも、そういったリスク回避の一環なのかもしれません。
しかしながら、可能性のお話で言えばあなたに好意が全くないということはないはずです。

・記念日に贈り物をする
・二人で過ごす時間が定期的にある
・必要以上に連絡を取らない
このような行動は好意に矛盾しているように感じるかもしれませんが、既婚男性なら当然のことと存じます。家庭を壊すつもりはないからこそ、双方（あなたと奥様）に誤解を与えるような行動は控える、でもあなたのことも好きなので、必要最低限の連絡以上に繋がりを保とうとする、という構造になってしまいます。

あなたが彼の好意をカテゴライズしたいのは、彼の本心を見たいという真理から来るものでしょうが、それをすることによって二人の居心地良さが損なわれる可能性があります。
彼もそれを分かっているからこそ、明言化していないのだと思います。駄文で申し訳ありませんが、参考になれば幸いです。